Des mathématiciens prouvent qu’une version 2D de la gravité quantique fonctionne

C’est une idée élégante qui ne donne des réponses concrètes que pour certains champs quantiques. Aucune procédure mathématique connue ne peut faire la moyenne significative d’un nombre infini d’objets couvrant une étendue infinie d’espace en général. L’intégrale de chemin est plus une philosophie physique qu’une recette mathématique exacte. Les mathématiciens remettent en question son existence même en tant qu’opération valide et sont gênés par la façon dont les physiciens s’y fient.

« En tant que mathématicienne, je suis perturbée par quelque chose qui n’est pas défini », a déclaré Eveliina Peltola, mathématicienne à l’Université de Bonn en Allemagne.

Les physiciens peuvent exploiter l’intégrale de chemin de Feynman pour calculer des fonctions de corrélation exactes uniquement pour les champs les plus ennuyeux, les champs libres, qui n’interagissent pas avec d’autres champs ou même avec eux-mêmes. Sinon, ils doivent le truquer, en prétendant que les champs sont libres et en ajoutant des interactions légères, ou des « perturbations ». Cette procédure, connue sous le nom de théorie des perturbations, leur donne des fonctions de corrélation pour la plupart des champs du modèle standard, car les forces de la nature sont assez faibles.

Mais cela n’a pas fonctionné pour Polyakov. Bien qu’il ait initialement spéculé que le champ de Liouville pourrait se prêter au hack standard consistant à ajouter de légères perturbations, il a constaté qu’il interagissait trop fortement avec lui-même. Comparé à un champ libre, le champ de Liouville semblait mathématiquement impénétrable, et ses fonctions de corrélation semblaient inaccessibles.

Jusqu’à par les bootstraps

Polyakov a rapidement commencé à chercher une solution de contournement. En 1984, il s’est associé à Alexander Belavin et Alexander Zamolodchikov pour développer une technique appelée le bootstrap, une échelle mathématique qui conduit progressivement aux fonctions de corrélation d’un champ.

Pour commencer à gravir les échelons, vous avez besoin d’une fonction qui exprime les corrélations entre les mesures en seulement trois points du champ. Cette « fonction de corrélation à trois points », plus quelques informations supplémentaires sur les énergies qu’une particule du champ peut prendre, forme le dernier échelon de l’échelle de bootstrap.

De là, vous montez un point à la fois : utilisez la fonction à trois points pour construire la fonction à quatre points, utilisez la fonction à quatre points pour construire la fonction à cinq points, et ainsi de suite. Mais la procédure génère des résultats contradictoires si vous commencez avec la mauvaise fonction de corrélation à trois points dans le premier échelon.

Polyakov, Belavin et Zamolodchikov ont utilisé le bootstrap pour résoudre avec succès une variété de théories QFT simples, mais tout comme avec l’intégrale du chemin de Feynman, ils n’ont pas pu le faire fonctionner pour le champ de Liouville.

Puis, dans les années 1990, deux paires de physiciens – Harald Dorn et Hans-Jörg Otto, et Zamolodchikov et son frère Alexei – ont réussi à trouver la fonction de corrélation à trois points qui a permis de faire évoluer l’échelle, résolvant complètement le champ de Liouville (et sa description simple de la gravité quantique). Leur résultat, connu par leurs initiales sous le nom de formule DOZZ, permet aux physiciens de faire n’importe quelle prédiction impliquant le champ de Liouville. Mais même les auteurs savaient qu’ils y étaient arrivés en partie par hasard, et non par de solides mathématiques.

« C’étaient ce genre de génies qui devinaient des formules », a déclaré Vargas.

Les suppositions éclairées sont utiles en physique, mais elles ne satisfont pas les mathématiciens, qui ont ensuite voulu savoir d’où venait la formule DOZZ. L’équation qui a résolu le champ de Liouville aurait dû provenir d’une description du champ lui-même, même si personne n’avait la moindre idée de comment l’obtenir.

« Cela me ressemblait à de la science-fiction », a déclaré Kupiainen. « Cela ne sera jamais prouvé par personne. »

Apprivoiser les surfaces sauvages

Au début des années 2010, Vargas et Kupiainen s’associent au théoricien des probabilités Rémi Rhodes et au physicien François David. Leur objectif était de boucler les détails mathématiques du champ de Liouville, de formaliser l’intégrale du chemin de Feynman que Polyakov avait abandonnée et, peut-être, de démystifier la formule DOZZ.

Au début, ils se sont rendu compte qu’un mathématicien français nommé Jean-Pierre Kahane avait découvert, des décennies plus tôt, ce qui allait s’avérer être la clé de la théorie principale de Polyakov.