Jusqu’où devriez-vous creuser un tunnel souterrain pour perdre 20 livres ?

Maintenant, et si je bouge à l’extérieur cette sphère ? Il s’avère que le champ gravitationnel dû à une distribution sphérique produit le même champ gravitationnel que si toute la masse était concentrée en un seul point au centre de la sphère. C’est plutôt sympa, car cela nous permet de calculer facilement le champ gravitationnel de la Terre en utilisant simplement la distance du centre de l’objet, au lieu de nous soucier de sa taille réelle et de sa masse totale.

Maintenant, nous avons encore une chose à considérer : comment le champ gravitationnel (et donc votre poids) change-t-il à mesure que vous vous rapprochez du centre de la Terre ? Nous aurons besoin de ces informations pour savoir jusqu’où une personne devrait creuser un tunnel pour réduire son poids de 20 livres.

Commençons par la Terre comme une sphère de rayon (R) et de masse (m). Dans cette première approximation, je vais supposer que la densité de la Terre est constante, de sorte que la masse par unité de volume de matière à la surface (comme les roches) est la même masse par volume que la matière au centre (comme le magma). Ce n’est pas vrai, mais c’est bien pour cet exemple.

Imaginez que nous creusons un trou et qu’une personne y descende à une distance (r) du centre de la Terre. La seule masse qui compte pour le champ gravitationnel (et le poids) est cette sphère de rayon (r). Mais rappelez-vous que le champ gravitationnel dépend à la fois de la masse de l’objet et de la distance par rapport au centre de la sphère. Nous pouvons trouver la masse de cette partie intérieure de la Terre en disant que le rapport de sa masse à la masse de la Terre entière est le même que le rapport de leurs volumes, car nous avons supposé une densité uniforme. Avec cela, et un peu de maths, on obtient l’expression suivante :

Illustration : Rhett Allain

Cela dit que le champ gravitationnel à l’intérieur de la Terre est proportionnel à la distance de la personne par rapport au centre. Si vous voulez réduire leur poids de 20 livres (disons 20 sur 180 livres), vous devrez réduire le champ gravitationnel d’un facteur de 20/180, soit 11,1 %. Cela signifie qu’ils devraient se déplacer à une distance du centre de la Terre de 0,889 × R, soit un trou qui ne fait que 0,111 fois le rayon de la Terre. Simple, non ?

Eh bien, la Terre a un rayon de 6,38 millions de mètres, soit environ 4 000 milles, ce qui signifie que le trou devrait avoir une profondeur de 440 milles. En fait, c’est encore plus profond que cela, car la densité de la Terre n’est pas constante. Il varie d’environ 3 grammes par centimètre cube à la surface jusqu’à environ 13 g/cm3 dans le noyau. Cela signifie que vous devrez vous venger plus proche au centre pour obtenir une réduction de poids de 20 livres. Bonne chance avec ça. Si vous voulez vraiment perdre du poids, vous feriez mieux de vous inscrire à une salle de sport.