Le « plus vieux problème de mathématiques » obtient une nouvelle réponse

Les théoriciens des nombres sont toujours à la recherche d’une structure cachée. Et lorsqu’ils sont confrontés à un modèle numérique qui semble inévitable, ils testent son courage, s’efforçant – et souvent échouant – de concevoir des situations dans lesquelles un modèle donné ne peut pas apparaître.

L’un des derniers résultats pour démontrer la résilience de ces modèles, par Thomas Bloom de l’Université d’Oxford, répond à une question dont les racines remontent à l’Égypte ancienne.

« C’est peut-être le problème le plus ancien qui soit », a déclaré Carl Pomerance du Dartmouth College.

La question implique des fractions qui comportent un 1 dans leur numérateur, comme 1⁄2, 1⁄7 ou 1⁄122. Ces « fractions d’unités » étaient particulièrement importantes pour les anciens Égyptiens car elles étaient les seuls types de fractions contenues dans leur système de numération. À l’exception d’un seul symbole pour 2⁄3, ils ne pouvaient exprimer que des fractions plus compliquées (comme 3⁄4) sous forme de sommes de fractions unitaires (1⁄2 + 1⁄4).

L’intérêt des temps modernes pour de telles sommes a augmenté dans les années 1970, lorsque Paul Erdős et Ronald Graham ont demandé à quel point il pourrait être difficile de concevoir des ensembles de nombres entiers qui ne contiennent pas un sous-ensemble dont les inverses s’ajoutent à 1. Par exemple, le l’ensemble {2, 3, 6, 9, 13} échoue à ce test : il contient le sous-ensemble {2, 3, 6}, dont les inverses sont les fractions unitaires 1⁄2, 1⁄3 et 1⁄6, qui totalisent 1.

Plus exactement, Erdős et Graham ont supposé que tout ensemble qui échantillonne une proportion positive suffisamment grande des nombres entiers – cela pourrait être 20% ou 1% ou 0,001% – doit contenir un sous-ensemble dont les inverses s’additionnent à 1. Si l’ensemble initial satisfait cette simple condition d’échantillonner suffisamment de nombres entiers (ce que l’on appelle avoir une « densité positive »), alors même si ses membres étaient délibérément choisis pour rendre difficile la recherche de ce sous-ensemble, le sous-ensemble devrait néanmoins exister.

« Je pensais juste que c’était une question impossible qu’aucune personne saine d’esprit ne pourrait jamais répondre », a déclaré Andrew Granville de l’Université de Montréal. « Je n’ai vu aucun outil évident qui pourrait l’attaquer. »

L’implication de Bloom dans la question d’Erdős et Graham est née d’un devoir : en septembre dernier, on lui a demandé de présenter un article de 20 ans à un groupe de lecture à Oxford.

Cet article, écrit par un mathématicien du nom d’Ernie Croot, avait résolu la soi-disant version coloriée du problème d’Erdős-Graham. Là, les nombres entiers sont triés au hasard dans différents seaux désignés par des couleurs : certains vont dans le seau bleu, d’autres dans le rouge, et ainsi de suite. Erdős et Graham ont prédit que, quel que soit le nombre de seaux différents utilisés dans ce tri, au moins un seau doit contenir un sous-ensemble de nombres entiers dont les inverses totalisent 1.

Croot a introduit de nouvelles méthodes puissantes d’analyse harmonique – une branche des mathématiques étroitement liée au calcul différentiel – pour confirmer la prédiction d’Erdős-Graham. Son article a été publié dans le Annales de Mathématiquesla meilleure revue dans le domaine.

« L’argument de Croot est une joie à lire », a déclaré Giorgis Petridis de l’Université de Géorgie. « Cela demande de la créativité, de l’ingéniosité et beaucoup de force technique. »

Pourtant, aussi impressionnant que soit l’article de Croot, il ne pouvait pas répondre à la version densité de la conjecture d’Erdős-Graham. Cela était dû à une commodité dont Croot a profité et qui est disponible dans la formulation de tri au seau, mais pas dans celle de densité.

Le rouleau mathématique connu sous le nom de Rhind Papyrus, qui remonte à environ 1650 avant notre ère, montre comment les anciens Égyptiens représentaient les nombres rationnels comme des sommes de fractions unitaires.Photographie : Alay