Les mathématiciens prouvent enfin que la fonte de la glace reste douce

Déposez une glace cube dans un verre d’eau. Vous pouvez probablement imaginer la façon dont il commence à fondre. Vous savez aussi que peu importe la forme qu’il prend, vous ne le verrez jamais se fondre en quelque chose comme un flocon de neige, composé partout d’arêtes vives et de fines cuspides.

Les mathématiciens modélisent ce processus de fusion avec des équations. Les équations fonctionnent bien, mais il a fallu 130 ans pour prouver qu’elles sont conformes à des faits évidents sur la réalité. Dans un article publié en mars, Alessio Figalli et Joaquim Serra de l’Institut fédéral suisse de technologie de Zurich et Xavier Ros-Oton de l’Université de Barcelone ont établi que les équations correspondent vraiment à l’intuition. Les flocons de neige dans le modèle ne sont peut-être pas impossibles, mais ils sont extrêmement rares et totalement éphémères.

«Ces résultats ouvrent une nouvelle perspective sur le domaine», a déclaré Maria Colombo de l’Ecole polytechnique fédérale de Lausanne. « Il n’y avait pas de compréhension aussi profonde et précise de ce phénomène auparavant. »

La question de savoir comment la glace fond dans l’eau s’appelle le problème de Stefan, du nom du physicien Josef Stefan, qui l’a posé en 1889. C’est l’exemple le plus important d’un problème de « frontière libre », où les mathématiciens considèrent comment un processus comme la diffusion de chaleur fait bouger une frontière. Dans ce cas, la frontière est entre la glace et l’eau.

Pendant de nombreuses années, les mathématiciens ont essayé de comprendre les modèles compliqués de ces frontières en évolution. Pour progresser, le nouveau travail s’inspire d’études antérieures sur un autre type de système physique : les films de savon. Il s’appuie sur eux pour prouver que le long de la frontière évolutive entre la glace et l’eau, des points pointus comme des cuspides ou des bords se forment rarement, et même lorsqu’ils le font, ils disparaissent immédiatement.

Ces points aigus sont appelés singularités, et il s’avère qu’ils sont aussi éphémères dans les limites libres des mathématiques que dans le monde physique.

Faire fondre des sabliers

Considérez, encore une fois, un glaçon dans un verre d’eau. Les deux substances sont constituées des mêmes molécules d’eau, mais l’eau est dans deux phases différentes : solide et liquide. Une frontière existe là où les deux phases se rencontrent. Mais à mesure que la chaleur de l’eau se transfère dans la glace, la glace fond et la limite se déplace. Finalement, la glace – et la frontière avec elle – disparaissent.

L’intuition pourrait nous dire que cette frontière de fusion reste toujours lisse. Après tout, vous ne vous coupez pas sur des arêtes vives lorsque vous tirez un morceau de glace d’un verre d’eau. Mais avec un peu d’imagination, il est facile d’imaginer des scénarios où des points aigus émergent.

Prenez un morceau de glace en forme de sablier et plongez-le. Au fur et à mesure que la glace fond, la taille du sablier devient de plus en plus fine jusqu’à ce que le liquide mange tout le long. Au moment où cela se produit, ce qui était autrefois une taille lisse devient deux cuspides pointues, ou singularités.

« C’est l’un de ces problèmes qui présentent naturellement des singularités », a déclaré Giuseppe Mingione de l’Université de Parme. « C’est la réalité physique qui vous le dit. »

Josef Stefan a formulé une paire d’équations qui modélisent la fonte de la glace.

Archives de l’Université de Vienne Auteur : R. Fenzl Signature : 135.726

Mais la réalité nous dit aussi que les singularités sont maîtrisées. Nous savons que les cuspides ne devraient pas durer longtemps, car l’eau chaude devrait les faire fondre rapidement. Peut-être que si vous avez commencé avec un énorme bloc de glace construit entièrement à partir de sabliers, un flocon de neige pourrait se former. Mais cela ne durerait toujours pas plus d’un instant.

En 1889, Stefan a soumis le problème à un examen mathématique, énonçant deux équations décrivant la fonte de la glace. L’un décrit la diffusion de la chaleur de l’eau chaude dans la glace froide, ce qui rétrécit la glace tout en provoquant l’expansion de la région de l’eau. Une deuxième équation suit l’interface changeante entre la glace et l’eau au fur et à mesure que le processus de fonte progresse. (En fait, les équations peuvent également décrire la situation où la glace est si froide qu’elle fait geler l’eau environnante, mais dans le présent travail, les chercheurs ignorent cette possibilité.)