Les mathématiciens prouvent la symétrie des transitions de phase

La présence d’invariance conforme a une signification physique directe : elle indique que le comportement global du système ne changera pas même si vous modifiez les détails microscopiques de la substance. Il fait également allusion à une certaine élégance mathématique qui s’installe, le temps d’un bref intermède, au moment même où tout le système brise sa forme globale et devient autre chose.

Les premières preuves

En 2001, Smirnov a produit la première preuve mathématique rigoureuse de l’invariance conforme dans un modèle physique. Il s’est appliqué à un modèle de percolation, qui est le processus de passage d’un liquide dans un labyrinthe dans un milieu poreux, comme une pierre.

Smirnov a examiné la percolation sur un réseau triangulaire, où l’eau ne peut s’écouler que par des sommets «ouverts». Initialement, chaque sommet a la même probabilité d’être ouvert à l’écoulement de l’eau. Lorsque la probabilité est faible, les chances que l’eau ait un chemin à travers la pierre sont faibles.

Mais au fur et à mesure que vous augmentez lentement la probabilité, il arrive un moment où suffisamment de sommets sont ouverts pour créer le premier chemin enjambant la pierre. Smirnov a prouvé qu’au seuil critique, le réseau triangulaire est invariant de manière conforme, ce qui signifie que la percolation se produit quelle que soit la façon dont vous la transformez avec des symétries conformes.

Cinq ans plus tard, lors du Congrès international des mathématiciens de 2006, Smirnov a annoncé qu’il avait à nouveau prouvé l’invariance conforme, cette fois dans le modèle d’Ising. Combiné à son épreuve de 2001, ce travail révolutionnaire lui a valu la médaille Fields, la plus haute distinction en mathématiques.

Au cours des années qui ont suivi, d’autres preuves sont apparues au cas par cas, établissant une invariance conforme pour des modèles spécifiques. Aucun n’a réussi à prouver l’universalité envisagée par Polyakov.

« Les preuves précédentes qui ont fonctionné étaient adaptées à des modèles spécifiques », a déclaré Federico Camia, physicien mathématique à l’Université de New York à Abu Dhabi. « Vous disposez d’un outil très spécifique pour le prouver pour un modèle très spécifique. »

Smirnov lui-même a reconnu que ses deux preuves reposaient sur une sorte de « magie » qui était présente dans les deux modèles avec lesquels il travaillait, mais qui n’est généralement pas disponible.

« Comme il utilisait la magie, cela ne fonctionne que dans des situations où il y a de la magie, et nous n’avons pas pu trouver de magie dans d’autres situations », a-t-il déclaré.

Le nouveau travail est le premier à perturber ce modèle, prouvant que l’invariance rotationnelle, une caractéristique essentielle de l’invariance conforme, existe largement.

Un à la fois

Duminil-Copin a commencé à penser à prouver l’invariance conforme universelle à la fin des années 2000, alors qu’il était l’étudiant diplômé de Smirnov à l’Université de Genève. Il avait une compréhension unique de l’éclat des techniques de son mentor, ainsi que de leurs limites. Smirnov a contourné la nécessité de prouver les trois symétries séparément et a plutôt trouvé une voie directe pour établir l’invariance conforme, comme un raccourci vers un sommet.

« C’est un excellent résolveur de problèmes. Il a prouvé l’invariance conforme de deux modèles de physique statistique en trouvant l’entrée dans cette énorme montagne, comme ce genre de nœud qu’il a traversé », a déclaré Duminil-Copin.

Pendant des années après ses études supérieures, Duminil-Copin a travaillé à la constitution d’un ensemble de preuves qui pourraient éventuellement lui permettre d’aller au-delà du travail de Smirnov. Au moment où lui et ses coauteurs se sont mis à travailler sérieusement sur l’invariance conforme, ils étaient prêts à adopter une approche différente de celle de Smirnov. Plutôt que de tenter leur chance avec la magie, ils sont revenus aux hypothèses originales sur l’invariance conforme faites par Polyakov et les physiciens ultérieurs.

Hugo Duminil-Copin de l’Institut des hautes études scientifiques et de l’Université de Genève et ses collaborateurs adoptent une approche une symétrie à la fois pour prouver l’universalité de l’invariance conforme.Photographie : IHES/MC Vergne

Les physiciens avaient exigé une preuve en trois étapes, une pour chaque symétrie présente dans l’invariance conforme : translationnelle, rotationnelle et invariance d’échelle. Démontrez chacun d’eux séparément, et vous obtenez une invariance conforme en conséquence.

Dans cet esprit, les auteurs ont commencé par prouver l’invariance d’échelle, croyant que l’invariance rotationnelle serait la symétrie la plus difficile et sachant que l’invariance translationnelle était assez simple et ne nécessiterait pas sa propre preuve. En essayant cela, ils ont réalisé qu’ils pouvaient prouver l’existence d’une invariance rotationnelle au point critique dans une grande variété de modèles de percolation sur des grilles carrées et rectangulaires.