Les nombres de Fibonacci cachés dans des espaces étranges

McDuff et Schlenk avaient essayé de comprendre quand ils pourraient insérer un ellipsoïde symplectique – une goutte allongée – à l’intérieur d’une balle. Ce type de problème, connu sous le nom de problème d’intégration, est assez facile en géométrie euclidienne, où les formes ne se plient pas du tout. C’est également simple dans d’autres sous-domaines de la géométrie, où les formes peuvent se plier autant que vous le souhaitez tant que leur volume ne change pas.

La géométrie symplectique est plus compliquée. Ici, la réponse dépend de « l’excentricité » de l’ellipsoïde, un nombre qui représente son allongement. Une forme longue et mince avec une grande excentricité peut être facilement pliée en une forme plus compacte, comme un serpent qui s’enroule. Lorsque l’excentricité est faible, les choses sont moins simples.

L’article de McDuff et Schlenk de 2012 a calculé le rayon de la plus petite boule pouvant s’adapter à divers ellipsoïdes. Leur solution ressemblait à un escalier infini basé sur les nombres de Fibonacci – une séquence de nombres où le nombre suivant est toujours la somme des deux précédents.

Après que McDuff et Schlenk aient dévoilé leurs résultats, les mathématiciens se sont demandé : Et si vous essayiez d’intégrer votre ellipsoïde dans autre chose qu’une boule, comme un cube à quatre dimensions ? Des escaliers plus infinis apparaîtraient-ils?

Une surprise fractale

Les résultats ont afflué lorsque les chercheurs ont découvert quelques escaliers infinis ici, quelques autres là. Puis en 2019, l’Association pour les femmes en mathématiques a organisé un atelier d’une semaine en géométrie symplectique. Lors de l’événement, Holm et sa collaboratrice Ana Rita Pires ont mis sur pied un groupe de travail qui comprenait McDuff et Morgan Weiler, un doctorat fraîchement diplômé de l’Université de Californie à Berkeley. Ils ont entrepris d’intégrer des ellipsoïdes dans un type de forme qui a une infinité d’incarnations, leur permettant finalement de produire une infinité d’escaliers.

Dusa McDuff et ses collègues ont cartographié un zoo d’escaliers infinis en constante expansion.Avec l’aimable autorisation du Collège Barnard

Pour visualiser les formes étudiées par le groupe, rappelez-vous que les formes symplectiques représentent un système d’objets en mouvement. Parce que l’état physique d’un objet utilise deux quantités – position et vitesse – les formes symplectiques sont toujours décrites par un nombre pair de variables. En d’autres termes, ils sont de dimension paire. Puisqu’une forme bidimensionnelle représente un seul objet se déplaçant le long d’un chemin fixe, les formes à quatre dimensions ou plus sont les plus intrigantes pour les mathématiciens.

Mais les formes en quatre dimensions sont impossibles à visualiser, ce qui limite considérablement la boîte à outils des mathématiciens. Comme remède partiel, les chercheurs peuvent parfois dessiner des images en deux dimensions qui capturent au moins certaines informations sur la forme. Selon les règles de création de ces images 2D, une boule à quatre dimensions devient un triangle rectangle.

Les formes analysées par le groupe de Holm et Pires sont appelées surfaces de Hirzebruch. Chaque surface de Hirzebruch est obtenue en coupant le coin supérieur de ce triangle rectangle. Un numéro, b, mesure combien vous avez coupé. Lorsque b est 0, vous n’avez rien coupé ; quand c’est 1, vous avez effacé presque tout le triangle.

Au départ, les efforts du groupe semblaient peu susceptibles de porter leurs fruits. « Nous avons passé une semaine à travailler dessus, et nous n’avons rien trouvé », a déclaré Weiler, qui est maintenant postdoctorant à Cornell. Au début de 2020, ils n’avaient toujours pas fait beaucoup de progrès. McDuff a rappelé l’une des suggestions de Holm pour le titre de l’article qu’ils écriraient : « Pas de chance pour trouver des escaliers ».