Visite guidée d’un mathématicien à travers des dimensions supérieures

Alternativement, tout comme nous pouvons déplier les faces d’un cube en six carrés, nous pouvons déplier la frontière tridimensionnelle d’un tesseract pour obtenir huit cubes, comme le montre Salvador Dalí dans son tableau de 1954. Crucifixion (Corpus Hypercube).

On peut imaginer un cube en dépliant ses faces. De même, nous pouvons commencer à imaginer un tesseract en dépliant ses cubes frontières.

Tout cela s’ajoute à une compréhension intuitive qu’un espace abstrait est m-dimensionnel s’il y a m degrés de liberté à l’intérieur (comme ces oiseaux l’avaient), ou si cela nécessite m coordonnées pour décrire l’emplacement d’un point. Pourtant, comme nous le verrons, les mathématiciens ont découvert que la dimension est plus complexe que ne l’impliquent ces descriptions simplistes.

L’étude formelle des dimensions supérieures a émergé au XIXe siècle et est devenue assez sophistiquée en quelques décennies : une bibliographie de 1911 contenait 1 832 références à la géométrie de m dimensions. Peut-être en conséquence, à la fin du 19e et au début du 20e siècle, le public s’est entiché de la quatrième dimension. En 1884, Edwin Abbott a écrit le roman satirique populaire Terrain plat, qui utilisait des êtres bidimensionnels rencontrant un personnage de la troisième dimension comme analogie pour aider les lecteurs à comprendre la quatrième dimension. Un 1909 Scientifique américain concours de rédaction intitulé « Qu’est-ce que la quatrième dimension ? » a reçu 245 soumissions en lice pour un prix de 500 $. Et de nombreux artistes, comme Pablo Picasso et Marcel Duchamp, ont incorporé des idées de quatrième dimension dans leur travail.

Mais pendant ce temps, les mathématiciens ont réalisé que l’absence d’une définition formelle de la dimension était en fait un problème.

Georg Cantor est surtout connu pour sa découverte que l’infini se décline en différentes tailles ou cardinalités. Au début, Cantor croyait que l’ensemble des points dans un segment de ligne, un carré et un cube doivent avoir des cardinalités différentes, tout comme une ligne de 10 points, une grille de points 10 × 10 et un cube de points 10 × 10 × 10 ont différents nombres de points. Cependant, en 1877, il découvrit une correspondance biunivoque entre les points d’un segment de droite et les points d’un carré (ainsi que des cubes de toutes dimensions), montrant qu’ils ont la même cardinalité. Intuitivement, il a prouvé que les lignes, les carrés et les cubes ont tous le même nombre de points infiniment petits, malgré leurs dimensions différentes. Cantor a écrit à Richard Dedekind : « Je le vois, mais je ne le crois pas. »

Cantor réalisa que cette découverte menaçait l’idée intuitive que m-l’espace dimensionnel nécessite m coordonnées, car chaque point d’un m– un cube de dimension peut être identifié de manière unique par un nombre dans un intervalle, de sorte que, dans un sens, ces cubes de grande dimension sont équivalents à un segment de ligne à une dimension. Cependant, comme Dedekind l’a souligné, la fonction de Cantor était très discontinue – il a essentiellement divisé un segment de ligne en une infinité de parties et les a réassemblés pour former un cube. Ce n’est pas le comportement que nous voudrions pour un système de coordonnées ; ce serait trop désordonné pour être utile, comme donner des adresses uniques aux bâtiments de Manhattan mais les attribuer au hasard.